Теорема о разложении в произведение неприводимых многочленов

Область называется **областью с однозначным разложением**, если каждый её ненулевой необратимый элемент представим в виде произведения неразложимых, причем такое представление однозначно с точностью до порядка сомножителей и ассоциированности

Кольцо многочленов $F[x]$ над полем $F$ является областью с однозначным разложением

Индукция по $n = \deg f$. Обратимые элементы: $c \in F, c \neq 0$. **Существование:** найдём разложение на неприводимые. *База индукции* ($n=1$): $f$ неприводим *Шаг индукции* ($n>1$): Если $f$ неприводим, доказывать нечего. Пусть $f$ приводим, значит $f=gh$, где $1 \le \deg g, \deg h < n$. Но тогда $g,h$ разложимы по индукции, а значит $f$ разложим. **Единственность:** *База индукции* ($n=1$): Так как $\deg f = 1$, то $f = p_{1} = q_{1}$, а значит $p_{1} \sim q_{1}$ *Шаг индукции* ($n>1$): Пусть $f = p_1 \dots p_k = q_1 \dots q_m$ $(*)$ Так как $p_{1} \mid f$, то $p_{1} \mid q_{1}\dots q_{m}$, а значит $p_{1} \mid q_{j}$ (пусть $j = 1$) Так как $p_{1}, q_{1}$ неприводимы, то $q_{1} = \alpha p_{1}, \alpha \in F$. Тогда можем сократить $(*)$ на $p_{1}$: $$p_{2}\dots p_{k} = cq_{2}\dots q_{m}$$ Обозначим $f_0 = p_2 \dots p_k$. Ясно, что $\deg f_0 < n$. По предположению индукции, разложение $f_0$ единственно, а значит множители $p_2, \dots, p_k$ ассоциированы с $c q_2, q_3, \dots, q_m$ и $k - 1 = m - 1 \impliedby k = m$. Следовательно, разложение единственно. $\square$